多様体って何なんですか？

分からん(^o^)
ということで少し調べてみることに　
　※素人調べなので数学的に正確性に欠けるところはご容赦願いたい。

ユークリッド空間
実数をn個並べたもの全体の集合にユークリッド距離を定めたもの。
数学っぽく表現するとn個の実数の集合（x_*1つ、１つが実数）
$$\mathbb{R^n}=\{ (x_1, x_2, …,x_n) | x_1,x_2,…,x_n \in \mathbb{R} \}$$
に対して，\((a_1,a_2,…,a_n)\)と\((b_1,b_2,…,b_n)\)間の距離を
$$\sqrt{(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_n-b_n)^2}$$
で定義したもの。(\((a_1,a_2,…,a_n)\)は1点の座標と考えれば良いだろう)
このように定義された空間をn次ユークリッド空間と呼ぶ。

多様体
多様体論という一つの学問が存在するくらい奥が深い。
微分幾何学に含まれる。曲面に対してどのように微分するか＝どのように座標を定義するかを考えることから始まるらしい。
　集合に対して連続性の概念を加えたものが位相空間、さらに座標の概念を入れると位相多様体、微分/積分を定義すると(可微分)多様体，計量の概念を導入するとリーマン多様体と繋がっていくようだ。

下記書籍が評判が良さそうだったので購入。

多様体の基礎 （基礎数学） [ 松本幸夫 ]

本書によると多様体とは「どこでも好きな所に局所座標系が描けるような空間」とういうことのようだ。この局所座標系というのが先に述べた局所的にはユークリッド空間とみなせるという言葉に相当する。

微分幾何学は機械学習でも必要な知識な気がするので､これを機に学んだ方が良さそうですね。まずは集合と位相からですかね。